小學(xué)趣味數(shù)學(xué)教案歸納法之公雞的智慧
一只公雞，看見主人走過(guò)來(lái)撒米給它吃，非常高興。它希望每天都能吃到米。第二天，主人給它吃米，第三天，主人給它吃米，……第九十九天，主人給它吃米。于是，公雞認(rèn)為：主人永遠(yuǎn)給它吃米。第一百天，公雞看見主人走過(guò)來(lái)，以為又有米吃了，可是主人把它捉住殺了。
公雞用歸納法得出每天都有米吃的結(jié)論，顯然是不完全的。公雞的智慧有限，無(wú)法達(dá)到這樣的認(rèn)識(shí)。
在數(shù)學(xué)里，也常用不完全的歸納法來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。不過(guò)，前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，這樣得到的結(jié)論，都必須給出嚴(yán)格的證明才能成立。
與自然數(shù)n有關(guān)的結(jié)論，常常采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。數(shù)學(xué)歸納法又叫做完全歸納法，在不會(huì)混淆的時(shí)候，可以簡(jiǎn)稱為歸納法。它分為兩個(gè)部分：
一、首先考慮最簡(jiǎn)單的情況，通常是證明n=1時(shí)結(jié)論成立。這一步稱為奠基。
二、其次考慮能不能從前一步推出下面一步。也就是證明：要是結(jié)論在n-1時(shí)成立，那么結(jié)論在 n時(shí)也成立。這一步稱為歸納。
要是這兩部分都完成了，那就可由n＝1時(shí)結(jié)論成立，推出在n＝2時(shí)結(jié)論成立；由n＝2時(shí)結(jié)論成立，又推出n＝3時(shí)結(jié)論成立。這樣逐步推下去，可以得出結(jié)論對(duì)于一切自然數(shù)都成立。
數(shù)學(xué)歸納法的思想在前面已經(jīng)多次用到過(guò)。例如在第三節(jié)，我們實(shí)際上證明了：按照所說(shuō)的規(guī)則，2n（n≥4）根火柴可以兩兩合并起來(lái)。當(dāng)時(shí)的做法，是先從最簡(jiǎn)單的'情況做起，把八根火柴（n＝4）兩兩合并起來(lái)。這就是奠基。
然后，對(duì)十四根火柴，我們?cè)阉鼩w結(jié)為十二根火柴的問題；十二根又歸結(jié)為十根；十根又歸結(jié)為八根。這樣一步步退到八，也就是由八一步步進(jìn)到十四。同樣，也可以進(jìn)到四十，或者更一般地進(jìn)到2n。其中的關(guān)鍵，是把左起第四根火柴與第一根火柴合并。這樣，2n根火柴的問題，就化為2（n-1）根火柴的問題了。只要2（n-1）根火柴能夠兩兩合并起來(lái)，那2n根火柴也就能兩兩合并起來(lái)。這就是第二部分：歸納。
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